Question

13．已知t＞0，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x{（x-t）}^{2}，x≤t\\ \frac{1}{4}x，x＞t\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（f（x）-1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是（3，4）．

Answer 1

分析 若函数g（x）=f（f（x）-1）恰有6个不同的零点，则方程f（x）-1=0和f（x）-1=t各有三个解，即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，进而得到答案．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x{（x-t）}^{2}，x≤t\\ \frac{1}{4}x，x＞t\end{array}\right.$，
∴函数f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}（3x-t）{（x-t）}^{\;}，x≤t\\ \frac{1}{4}，x＞t\end{array}\right.$，
当x＜$\frac{t}{3}$，或x＜t时，f′（x）＞0，函数为增函数，
当$\frac{t}{3}$＜x＜t时，f′（x）＜0，函数为减函数，
故当x=$\frac{t}{3}$时，函数f（x）取极大值$\frac{4}{27}{t}^{3}$，
函数f（x）有两个零点0和t，
若函数g（x）=f（f（x）-1）恰有6个不同的零点，
则方程f（x）-1=0和f（x）-1=t各有三个解，
即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，
由y|_x=t=$\frac{1}{4}x$=$\frac{t}{4}$，
故$\left\{\begin{array}{l}\frac{t}{4}＜1＜\frac{4}{27}{t}^{3}\\ \frac{t}{4}＜t+1＜\frac{4}{27}{t}^{3}\end{array}\right.$，
$\frac{4}{27}{t}^{3}-t-1$=$\frac{1}{27}$（t-3）（2t+3）²＞0得：t＞3，
故不等式的解集为：t∈（3，4），
故答案为：（3，4）

点评 本题考查的知识点是函数的零点个数的判定定理，分段函数的应用，难度中档．