Question

设P：指数函数f（x）=a^x，不等式f（x）＞1的解集是{x|x＜0}，Q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R，若P∧Q为假，P∨Q为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据指数函数的性质，我们可以求出满足条件P的参数a的取值范围，根据对数函数的定义域，及二次函数恒成立问题，我们可以求出满足条件Q的参数a的取值范围，又由P∧Q为假，P∨Q为真，可得P与Q必定一真一假，分类讨论后，即可得到实数a的取值范围．

解答：解：∵P中，指数函数f（x）=a^x，不等式f（x）＞1的解集是{x|x＜0}，
由指数函数的性质可得P={a|0＜a＜}
又∵Q中，函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R，即ax²-x+a＞0恒成立
则

a＞0 △=1-4a2＜0

解得Q={a|a＞

1

2

}
又∵P∧Q为假，P∨Q为真，
∴P与Q必定一真一假
（1）当P真Q假时，0＜a≤

1

2

（2）当P假Q真时，a≥1
综上所述实数a的取值范围为（0，

1

2

]∪[1，+∞）

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，熟练掌握指数函数的性质，对数函数的性质及二次函数的性质，是解答本题的关键．