Question

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，且PC⊥底面ABCD，E是侧棱PC上的动点．
（1）当E是侧棱PC的中点时，求证：PA∥面BDE
（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）连接AC，BD与AC交于点O，连接OE，由三角形中位线定理可得OF∥PA，再由线面平行的判定定理，即可得到PA∥平面BDF；
（Ⅱ）证明PC⊥面ABCD，BD⊥PC，证明BD⊥面PAC，即可证明BD⊥AE．

解答： 证明：（Ⅰ）连接AC，BD与AC交于点O，连接OE．…（1分）

∵ABCD是菱形，
∴O是AC的中点．
∵点E为PC的中点，
∴OE∥PA．  …（4分）
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．                …（6分）
（Ⅱ）无论点E在任何位置时，都有BD⊥AE；
证明：由已知PC⊥BC，PC⊥DC，BC∩DC=C，⇒PC⊥面ABCD…（2分）
∵BD?面ABCD⇒BD⊥PC，
又因为BD⊥AC，PC∩AC=C，
∴BD⊥面PAC，
又∵AE?面PAC，
∴BD⊥AE．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，其中（I）的关键是证得OF∥PA，本题考查了线线垂直和线面垂直的判定定理的运用，关键是熟练有关的定理，熟练转化的思想．