精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
3.如图,在直角坐标系中,曲线段AB是函数y=1-x2图象的一部分,P为曲线段AB上异于点A,B一个动点,PM丄x轴,垂足为M,PN丄y轴,垂足为N.
(1)求PM+PN长度的范围;
(2)求矩形PMON面积的最大值.

分析 (1)由已知得A(1,0),B(0,1),设P点坐标为(x,y),则0<x<1,y=1-x2;从而可得PM+PN=x+y=1-x2+x,从而由二次函数求取值范围;
(2)设矩形PMON面积为S,从而可得S=x(1-x2)=-x3+x,求导S′=-3x2+1=-3(x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$)(x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$);从而判断函数的单调性与最值即可.

解答 解:(1)由已知可得,A点坐标为(1,0),B点坐标为(0,1),
设P点坐标为(x,y),则0<x<1,y=1-x2
PM+PN=x+y=1-x2+x,
当x=$\frac{1}{2}$时,PM+PN取最大值为$\frac{5}{4}$,
当x=0或1时,PM+PN=1,
所以PM+PN的范围为(1,$\frac{5}{4}$].
(2)设矩形PMON面积为S,
则S=x(1-x2)=-x3+x,
S′=-3x2+1=-3(x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$)(x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$);

x(0,$\frac{\sqrt{3}}{3}$)$\frac{\sqrt{3}}{3}$($\frac{\sqrt{3}}{3}$,1)
S′+0-
S递增$\frac{2\sqrt{3}}{9}$递减
由上表知,当x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时,S取得极大值,也就是最大值,
即S的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{9}$.

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的应用,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

13.已知全集U=R,非空集合A={x|$\frac{x-2}{x-3a-1}$<0},B={x|$\frac{x-{a}^{2}-2}{x-a}$<0}.
(Ⅰ)当a=$\frac{1}{2}$时,求(∁UB)∩A;
(Ⅱ)条件p:x∈A,条件q:x∈B,若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

14.将连续正整数1,2,…,n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n,现从这个数中随机取一个数字,记P(n)为恰好取到0的概率,(如n=12时,此数为123456789101112,共15个数字,P(12)=$\frac{1}{15}$),则P(101)=$\frac{4}{65}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

11.在复平面内,复数i2(1-i)对应的点位于(  )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

18.已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y≥4\\ x-y≥-2\\ x≤2\end{array}\right.$表示的平面区域为D,点O(0,0),A(1,0).若点M是D上的动点,则$\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}}}{{|{\overrightarrow{OM}}|}}$的最小值是(  )
A.$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$B.$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$C.$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$D.$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

8.为了得到函数y=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x的图象,只要把函数y=2sin2x的图象(  )
A.向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度B.向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度
C.向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度D.向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

15.设四边形ABCD为平行四边形,|$\overrightarrow{AB}$|=6,|$\overrightarrow{AD}$|=4,则$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}$=(  )
A.10B.15C.20D.25

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

12.已知关于x的不等式ax2-3x+2<0(a∈R)
(Ⅰ)若不等式ax2-3x+2<0的解集为{x|x<1或x>b},求a,b的值.
(Ⅱ)求不等式ax2-3x+2>5-ax(a∈R)的解集.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

11.已知集合A={x|y=log2(x+1)},集合B={x|{y=$\sqrt{1-x^2}}$},则A∩B=(  )
A.(1,+∞)B.(-1,1]C.(0,+∞)D.(0,1)

查看答案和解析>>

同步练习册答案