Question

3．如图，在直角坐标系中，曲线段AB是函数y=1-x²图象的一部分，P为曲线段AB上异于点A，B一个动点，PM丄x轴，垂足为M，PN丄y轴，垂足为N．
（1）求PM+PN长度的范围；
（2）求矩形PMON面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知得A（1，0），B（0，1），设P点坐标为（x，y），则0＜x＜1，y=1-x²；从而可得PM+PN=x+y=1-x²+x，从而由二次函数求取值范围；
（2）设矩形PMON面积为S，从而可得S=x（1-x²）=-x³+x，求导S′=-3x²+1=-3（x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）（x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；从而判断函数的单调性与最值即可．

解答 解：（1）由已知可得，A点坐标为（1，0），B点坐标为（0，1），
设P点坐标为（x，y），则0＜x＜1，y=1-x²；
PM+PN=x+y=1-x²+x，
当x=$\frac{1}{2}$时，PM+PN取最大值为$\frac{5}{4}$，
当x=0或1时，PM+PN=1，
所以PM+PN的范围为（1，$\frac{5}{4}$]．
（2）设矩形PMON面积为S，
则S=x（1-x²）=-x³+x，
S′=-3x²+1=-3（x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）（x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；

x	（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）
S′	+	0	-
S	递增	$\frac{2\sqrt{3}}{9}$	递减

由上表知，当x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，S取得极大值，也就是最大值，
即S的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的应用，属于中档题．