Question

已知集合A={sin

nπ

2

|n∈N，N是自然数集}．
（1）用列举法表示集合A；
（2）任取p∈A，q∈A，记向量

a

=(1，p)，

b

=(q，1)，求

a

∥

b

的概率．

Answer 1

分析：（1）利用周期公式得出其周期，分别计算出函数值，即可得到集合A；
（2）分类讨论得出所以情况，再找出满足

a

∥

b

的基本事件，利用古典概型的概率计算公式即可得出．

解答：解：（1）sin

nπ

2

=sin(

π

2

•n)的周期为T=

2π

π 2

=4，
n=0时，sin

nπ

2

=0；n=1时，sin

nπ

2

=1；n=2时，sin

nπ

2

=0；n=3时，sin

nπ

2

=-1
所以A={-1，0，1}．
（2）任取p∈A，q∈A，对应的向量分别有：①

a

=(1，-1)，

b

=(-1，1)，②

a

=(1，-1)，

b

=(0，1)，③

a

=(1，-1)，

b

=(1，1)，④

a

=(1，0)，

b

=(-1，1)，⑤

a

=(1，0)，

b

=(0，1)，⑥

a

=(1，0)，

b

=(1，1)，⑦

a

=(1，1)，

b

=(-1，1)，⑧

a

=(1，1)，

b

=(0，1)，⑨

a

=(1，1)，

b

=(1，1)，共9种情况．
其中

a

∥

b

的情况分别是：①

a

=(1，-1)，

b

=(-1，1)，②

a

=(1，1)，

b

=(1，1)，共2种情况．
由于各种不同情况是等可能的，故

a

∥

b

的概率P=

2

9

．

点评：熟练掌握周期公式、分类讨论、向量共线定理、古典概型的概率计算公式等是解题的关键．