Question

设x轴、y轴正方向上的单位向量分别为、，坐标平面上的点A_n、B_n（n∈N^*）分别满足下列两个条件：①且；②且；求及的坐标；若四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积是a_n，求a_n（n∈N^*）的表达式；对于（2）中的a_n，是否存在最小的自然数N，当n＞N时恒有a_n+1＜a_n成立？若存在，求出N的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据①以及向量加法的三角形法则求出=（n-1，n+1），同理求出的坐标；
（2）由（1）可知：点A_n（n-1，n+1）都在直线y=x=2上，点B_n都在x轴上；记C（-2，0），利用分割的方法求四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积是a_n=，代入面积公式即可求得；
（3）由（2）知：a_n+1-a_n=5+-[5+]=，分类讨论即可求得结论．
解答：解：（1）==（n-1，n+1），
=
==（，0）；
（2）由（1）可知：点A_n（n-1，n+1）都在直线y=x=2上，点B_n都在x轴上；
记C（-2，0），
则a_n==
==5+，
∴a_n=5+，
（3）由（2）知：a_n+1-a_n=5+-[5+]=，
当n=5时，a₅=a₆；
当n≥6时，：a_n+1-a_n＜0
所以存在最小的自然数N=5，
当n＞N时恒有：a_n+1＜a_n成立．
点评：此题是个中档题．考查向量与数列的综合，主要考查了向量的加法的三角形法则和坐标表示，以及数列比较大小的方法．其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．