Question

【题目】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．

（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

Answer 1

【答案】(1) C= (2) △ABC的周长为+

【解析】试题分析：（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知可得2cosCsinC=sinC，结合范围C∈（0，π），解得cosC=，可得C的值．（2）由三角形的面积公式可求ab=3，利用余弦定理解得a+b的值，即可得解△ABC的周长．

解析：

（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0

利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，

整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，

即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC,2cosCsinC=sinC

∴cosC=，∴C=

（Ⅱ）由余弦定理得3=a2+b2﹣2ab，

∴（a+b）2﹣3ab=3，

∵S= absinC= ab=， ∴ab=16，

∴（a+b）2﹣48=3，∴a+b=，

∴△ABC的周长为+ .