Question

已知f（x）=x²-x+k，log₂f（a）=2，f（log₂a）=k，a≠1．求f（log₂x）的最小值及对应的x的值．

Answer 1

分析：已知中f（x）=x²-x+k（m∈R）且f（log₂a）=2，log₂f（a）=k，a≠1，求出满足条件的a，k值，进而得到f（log₂x）解析式，结合复合函数、指数函数、二次函数的性质，即可求出f（log₂x）的最小值及对应的x值；

解答：解：∵f（log₂a）=k，
∴f（log₂a）=log₂²a-log₂a+k=k
∴log₂a=1或log₂a=0，即a=2或a=1（舍）
∵a=2，∴f（a）=f（2）=2+k
∴log₂f（a）=log₂（2+k）=2，
∴k=2
∴f（x）=x²-x+2=（x-

1

2

）²+

7

4

∴f（log₂x）=log₂²x-log₂x+2
∴当log₂x=

1

2

，即x=

2

时，f（log₂x）取最小值

7

4

点评：本题考查的知识点是函数的最值及其求法，对数函数的单调性与特殊点，对于此类问题，将log₂x看成一个整体，利用二次函数的性质进行解答是关键．