[题目]对数函数g(x)=1ogax(a＞0.a≠1)和指数函数f(x)=ax(a＞0.a≠1)互为反函数．已知函数f(x)=3x.其反函数为y=g(x)．(Ⅰ)若函数g(kx2+2x+1)的定义域为R.求实数k的取值范围,(Ⅱ)若0＜x1＜x2且|g(x1)|=|g(x2)|.求4x1+x2的最小值,(Ⅲ)定义在I上的函数F(x).如果满足:对任意x∈I.总� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】对数函数g（x）=1ogax（a＞0，a≠1）和指数函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）互为反函数．已知函数f（x）=3x，其反函数为y=g（x）．

（Ⅰ）若函数g（kx2+2x+1）的定义域为R，求实数k的取值范围；

（Ⅱ）若0＜x1＜x2且|g（x1）|=|g（x2）|，求4x1+x2的最小值；

（Ⅲ）定义在I上的函数F（x），如果满足：对任意x∈I，总存在常数M＞0，都有-M≤F（x）≤M成立，则称函数F（x）是I上的有界函数，其中M为函数F（x）的上界．若函数h（x）=，当m≠0时，探求函数h（x）在x∈[0，1]上是否存在上界M，若存在，求出M的取值范围，若不存在，请说明理由．

【答案】（Ⅰ）k＞1；（Ⅱ）4；（Ⅲ）见解析

【解析】

（Ⅰ）因为g（x）=1ogax与f（x）=3x，互为反函数，所以a=3，得g（kx2+2x+1）= log3（kx2+2x+1）的定义域为R，所以kx2+2x+1＞0恒成立，可求解k的范围；（Ⅱ）由|g（x1）|=|g（x2）|，得|log3x1|=|log3x2|，分析化简得x1x2=1，4x1+x2=4x1+，利用双勾函数求其最值；（Ⅲ）由h（x）==－1+，分m＞0和m＜0分别求出h（x）的取值范围，然后讨论其上下界.

（Ⅰ）由题意得g（x）=log3x，

因为g（kx2+2x+1）=log3（kx2+2x+1）的定义域为R，

所以kx2+2x+1＞0恒成立，

当k=0时不满足条件，

当k≠0时，若不等式恒成立，

则，即，

解得k＞1；

（Ⅱ）由|g（x1）|=|g（x2）|，得|log3x1|=|log3x2|，

因为0＜x1＜x2，

所以0＜x1＜1＜x2，且－log3x1=log3x2，

所以log3x1+log3x2=log3x1x2=0，

所以x1x2=1，

所以则4x1+x2=4x1+，0＜x1＜1，

因为函数y=4x+在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增，

所以当x1=时，4x1+x2取得最小值为4．

（Ⅲ）h（x）==－1+，（m≠0），

（i）当m＞0，1+m3x＞1，则h（x）在[0，1]上单调递减，

所以≤h（x）≤，

①若||≥||，即m∈（0，]时，存在上界M，M∈[||，+∞），

②若||＜||，即m∈（，+∞）时，存在上界M，M∈[||，+∞），

（ii）当m＜0时，

①若－＜m＜0时，h（x）在[0，1]上单调递增，h（x）∈[，]，存在上界M，M∈[，+∞），

②若m=－时，h（x）=－1+在[0，1]上单调递增，h（x）∈[2，+∞），故不存在上界．

③若－1＜m＜－时，h（x）在[0，log3（－））上单调递增，h（x）在（log3（－），1]上单调递增，h（x）∈（－∞，]∪[，+∞）故不存在上界，

④若m=－1，h（x）=－1+在（0，1]上单调递增，h（x）∈（－∞，－2]，故不存在上界

⑤若m＜－1，h（x）在[0，1]上单调递增，h（x）∈[，]，而＜0，存在上界M，M∈[||，+∞）；

综上所述，当m＜－1时，存在上界M，M∈[||，+∞），

当－1≤m≤－时，不存在上界，

当－＜m＜0时，存在上界M，M∈[，+∞），

当m∈（0，]时，存在上界M，M∈[||，+∞），

当m∈（，+∞）时，存在上界M，M∈[||，+∞）．

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