Question

已知点，是平面内一动点，直线、斜率之积为。

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点作直线与轨迹交于两点，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）设点的坐标为，依题意，有。

化简并整理，得.

∴动点的轨迹的方程是.  …………………………4分

（Ⅱ）依题意，直线过点且斜率不为零，故可设其方程为.

由方程组   消去，并整理得.

设,,  ，

∴  

∴,     .      ………………8分

① 当时，；                 …………………………………………9分

② 当时,     .

.    且 .

综合①、②可知，直线的斜率的取值范围是. ……………………12分