Question

【题目】函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m．
（1）若m=﹣4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；
（2）若存在 使得不等式g（x）≤﹣1成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由x2+2x﹣8＞0，解得：x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），

故则函数f（x）=log3（x2+2x﹣8）的定义域A=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），

若m=﹣4，g（x）=x2﹣3x﹣4，由x2﹣3x﹣4≤0，解得：x∈[﹣1，4]，则B=[﹣1，4]

所以A∩B=（2，4]

（2）解：存在 使得不等式x2+（m+1）x+m≤﹣1成立，

即存在 使得不等式﹣m≥ 成立，所以﹣m≥（ ）min

因为 =x+1+ ﹣1≥1，

当且仅当x+1=1，即x=0时取得等号

所以﹣m≥1，

解得：m≤﹣1

【解析】（1）求出集合A，B，由交集运算的定义，可得A∩B；（2）若存在 使得不等式g（x）≤﹣1成立，即存在 使得不等式﹣m≥ 成立，所以﹣m≥（ ）min ， 解得实数m的取值范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的最值及其几何意义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．