Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有Sn=an+n﹣3成立．

（Ⅰ）求证：{an﹣1}为等比数列；

（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn．

Answer 1

【答案】(1)详见解析(2) Tn=

【解析】试题分析：（1）利用当n≥2时， 得到，通过构造得到,进而得到所求结论；（2）根据数列{nan}通项公式得特点，选择分组求和法和错位相减法进行求和。

试题解析：（I）证明：∵对任意的正整数n，都有Sn=an+n﹣3成立．

∴当n=1时，a1=S1= ﹣2，解得a1=4．

当n≥2时， ，

整理得

∴ an﹣1=3（an﹣1﹣1）(n≥2)，

又，

∴数列{an﹣1}是首项为3，公比为3的等比数列．

（II）解：由（I）可得： ，

∴ an=3n+1，

∴nan=n3n+n．

∴Tn=3+2×32+3×33+…+n3n

=3+2×32+3×33+…+n3n．

设An=3+2×32+3×33+…+n3n ①

则3An=32+2×33+…+（n﹣1）3n+n3n+1 ②

①﹣②得

﹣2An=3+32+…+3n﹣n3n+1= ﹣n3n+1，

∴ An= ，

∴Tn= ．