Question

已知函数f（x）=lnx+ax．
（I）若对一切x＞0，f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；
（II）在函数f（x）的图象上取定两点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x）₂）（x₁＜x₂），记直线AB的斜率为k，证明：存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）=k成立．

Answer 1

分析：（I）对一切x＞0，f（x）≤1恒成立，即对一切x＞0，lnx+ax≤1恒成立，分离参数，求出函数的最值，即可求得结论；
（II）要证明存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）=k成立，只要证明f′（x）-k=0在（x₁，x₂）内有解即可．

解答：（I）解：对一切x＞0，f（x）≤1恒成立，即对一切x＞0，lnx+ax≤1恒成立，∴a≤

1

x

-

lnx

x

令g（x）=

1

x

-

lnx

x

，则g′(x)=

lnx-2

x2

令g′（x）＜0，可得0＜x＜e²；令g′（x）＞0，可得x＞e²，
∴x=e²时，g（x）取得最小值g（e²）=-

1

e2

∴a≤-

1

e2

；
（II）证明：由题意，k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

+a
要证明存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）=k成立，只要证明f′（x）-k=0在（x₁，x₂）内有解即可
令h（x）=f′（x）-k=

1

x

-

lnx2-lnx1

x2-x1

，只要证明h（x）在（x₁，x₂）内存在零点即可
∵h（x）在（x₁，x₂）内是减函数，只要证明h（x₁）＞0，h（x₂）＜0
即证

x2

x1

-1-ln

x2

x1

＞0，

x1

x2

-1-ln

x1

x2

＞0
令F（t）=t-1-lnt（t＞0），∵F′（t）=1-

1

t

，∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
∴函数在t=1时，取得最小值0，∴F（t）≥0
∵

x1

x2

＞0且

x1

x2

≠1；

x2

x1

＞0且

x2

x1

≠1
∴

x2

x1

-1-ln

x2

x1

＞0，

x1

x2

-1-ln

x1

x2

＞0
∴结论成立．

点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．