Question

【题目】已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M(1，），过点P(2,1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B.

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在直线l，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】试题分析（1）先设椭圆的标准方程，将点代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再由可得到的值，进而得到椭圆的方程．（2）假设存在直线满足条件，设直线方程为，然后与椭圆方程联立消去得到一元二次方程，且方程一定有两根，故应大于得到的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达式，再表示出，再代入关系式可确定的值，从而得解．

试题解析：(1）设椭圆C的方程为，

由题意得解得.故椭圆C的方程为.

(2）若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为，由

得.

因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，

设A，B两点的坐标分别为，

所以

整理得，解得.

又，，且

即，

所以，

即.

所以，

解得.

所以k＝.于是存在直线l满足条件，

其方程为.