Question

已知点P为抛物线y²=2x上的动点，则点P到直线y=x+2的距离的最小值为

3 2

4

．

Answer 1

分析：求出与直线y=x+2平行且与抛物线y²=2x相切的直线方程，然后由两条平行线间的距离公式求解．

解答：解：如图，
设与直线y=x+2平行的直线方程为y=x+m．
联立

y=x+m y2=2x

，得x²+（2m-2）x+m²=0．
由△=（2m-2）²-4m²=0，得m=

1

2

．
所以与直线y=x+2平行且与抛物线y²=2x相切的直线方程为y=x+

1

2

．
由两平行线间的距离公式得：d=

|2- 1 2 |

12+(-1)2

=

3 2

4

．
所以点P到直线y=x+2的距离的最小值为

3 2

4

．
故答案为

3 2

4

．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离的求法，是中档题．