Question

5．已知函数$f（x）={x^3}-3{x^2}+2，g（x）=\left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{x}\;\;\;x＞0\\-{x^2}-4x-2\;\;\;x≤0\end{array}\right.$，则方程g[f（x）]-a=0（a＞0）的根的个数不可能为（　　）

• A． 6个
• B． 5个
• C． 4个
• D． 3个

Answer 1

分析 由已知中函数的解析式，我们易求出f（x）与y=a的交点情况为：当a＞2时，有一个交点；当a=2时，有两个交点；当0＜a＜2时，有三个交点；g（x）与y=a的交点情况为：当a＞2时，有2个交点；当a=2时，有2个交点；当0＜a＜2时，有2个交点．分类讨论后，即可得到方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）的根的个数所有的情况，进而得到答案．

解答 解：∵函数f（x）=x³-3x²+2，
画出函数f（x）的图象，如图示：

我们易求出f（x）与y=a的交点情况为：
当a＞2时，有一个交点；当a=2时，有两个交点；当0＜a＜2时，有三个交点；
画出函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，（x＞0）}\\{-{x}^{2}-4x-2，（x≤0）}\end{array}\right.$的图象，如图示：

我们易求出g（x）与y=a的交点情况为：
当a＞2时，有2个交点；
当a=2时，有2个交点；
当0＜a＜2时，有2个交点；
∴方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）的根的个数可能为：
4个，5个，6个，
不可能为3个，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中分析内外函数的图象是解答本题的关键，属于难题．