Question

已知两圆C₁：（x+1）²+y²=1与C₂：（x-1）²+y²=25，动圆M与这两个圆都内切，则动圆的圆心M的轨迹方程为

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设圆（x+1）²+y²=1的圆心O₁（-1，0），半径r₁=1；圆（x-1）²+y²=25的圆心O₂（1，0），半径r₂=5．设动圆C的圆心C（x，y），半径R．由于动圆C与圆（x+1）²+y²=1及圆（x-1）²+y²=25都内切，可得|O₁C|=R-1，|O₂C|=5-R．于是|O₁C|+|O₂C|=5-1=4＞|O₁O₂|=2，利用椭圆的定义可知：动点C的轨迹是椭圆．求出即可．

解答： 解：设圆（x+1）²+y²=1的圆心O₁（-1，0），半径r₁=1；圆（x-1）²+y²=25的圆心O₂（1，0），半径r₂=5．
设动圆C的圆心C（x，y），半径R．
∵动圆C与圆（x+1）²+y²=1及圆（x-1）²+y²=25都内切，
∴|O₁C|=R-1，|O₂C|=5-R．
∴|O₁C|+|O₂C|=5-1=4＞|O₁O₂|=2，
因此动点C的轨迹是椭圆，2a=4，2c=2，解得a=2，c=1，∴b²=a²-c²=3．
因此动圆圆心C的轨迹方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
故答案为：

x2

4

+

y2

3

=1．

点评：本题考查了两圆相内切的性质、椭圆的定义，属于中档题．