【题目】已知函数.
(1)当时,求证:恒成立;
(2)若关于的方程至少有两个不相等的实数根,求实数的最小值.
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【题目】20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:
(1)求频率直方图中a的值;
(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;
(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人,求这2人的成绩都在[60,70)中的概率.
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【题目】已知函数的图象与的图象关于对称,且,函数的定义域为.
(1)求的值;
(2)若函数在上是单调递增函数,求实数的取值范围;
(3)若函数的最大值为2,求实数的值.
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【题目】唐三彩,中国古代陶瓷烧制工艺的珍品,它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点,在中国文化中占有重要的历史地位,在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史,对唐三彩的复制和仿制工艺,至今也有百余年的历史,某陶瓷厂在生产过程中,对仿制的100件工艺品测得其重量(单位: )数据,将数据分组如下表:
(1)在答题卡上完成频率分布表;
(2)以表中的频率作为概率,估计重量落在中的概率及重量小于2.45的概率是多少?
(3)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间的中点值是2.25作为代表.据此,估计这100个数据的平均值.
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【题目】北京时间3月15日下午,谷歌围棋人工智能与韩国棋手李世石进行最后一轮较量, 获得本场比赛胜利,最终人机大战总比分定格.人机大战也引发全民对围棋的关注,某学校社团为调查学生学习围棋的情况,随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图(如图所示),将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.
(Ⅰ)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否有的把握认为“围棋迷”与性别有关?
非围棋迷 | 围棋迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合计 |
(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率,现在从该地区大量学生中,采用随机抽样方法每次抽取1名学生,抽取3次,记被抽取的3名淡定生中的“围棋迷”人数为。若每次抽取的结果是相互独立的,求的平均值和方差.
附: ,其中.
0.05 | 0.01 | |
3.841 | 6.635 |
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【题目】甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取次.记录如下:
甲: , , , , , , ,
乙: , , , , , , ,
()用茎叶图表示这两组数据.
()现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为派哪位学生参加合适?请说明理由.
()若将频率视为概率,对甲同学在今后的三次数学竞赛成绩进行预测,记这次成绩中高于分的次数为,求的分布列及数学期望.
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【题目】某市甲水厂每天生产万吨的生活用水,其每天固定生产成本为万元,居民用水的税费价格为每吨元,该市居民每天用水需求量是在(单位:万吨)内的随机数,经市场调查,该市每天用水需求量的频率分布直方图如图所示,设(单位:万吨, )表示该市一天用水需求量(单位:万元)表示甲水厂一天销售生活用水的利润(利润=税费收入-固定生产成本),注:当该市用水需求量超过万吨时,超过的部分居民可以用其他水厂生产的水,甲水厂只收成本厂供应的税费,该市每天用水需求量的概率用频率估计.
(1)求的值,并直接写出表达式;
(2)求甲水厂每天的利润不少于万元的概率.
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【题目】如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,面.
(1)求四棱锥S-ABCD的体积;
(2)求证:面
(3)求SC与底面ABCD所成角的正切值。
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