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已知抛物线C:y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若过焦点F的直线交抛物线于M、N两点,M在第一象限,且|MF|=2|NF|,求直线MN的方程;
(3)求出一个数学问题的正确结论后,将其作为条件之一,提出与原来问题有关的新问题,我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.
例如,原来问题是“若正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,求该正四棱锥的体积”.求出体积数学公式后,它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4,体积为数学公式,求侧棱长”;也可以是“若正四棱锥的体积为数学公式,求所有侧面面积之和的最小值”.
现有正确命题:过点数学公式的直线交抛物线C:y2=2px(p>0)于P、Q两点,设点P关于x轴的对称点为R,则直线RQ必过焦点F.
试给出上述命题的“逆向”问题,并解答你所给出的“逆向”问题.

解:(1)由已知及抛物线的定义可得:=1,即p=2,所以抛物线C的方程为:y2=4x(4分)
(2)设(t>0),则M(t2,2t),F(1,0).
因为M、F、N共线,则有kFM=kNF,(6分)
所以,解得,(8分)
所以,(10分)
因而,直线MN的方程是.(11分)
(3)“逆向问题”一:
①已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线交抛物线C于P、Q两点,
设点P关于x轴的对称点为R,则直线RQ必过定点.(13分)
证明:设过F的直线为y=k(x),P(x1,y1),Q(x2,y2),则R(x1,-y1

所以,(14分)
,(15分)
=kRA,(16分)
所以直线RQ必过焦点A.(17分)
②过点的直线交抛物线C于P、Q两点,FP与抛物线交于另一点R,则RQ垂直于x轴.
③已知抛物线C:y2=2px(p>0),过点B(m,0)(m>0)的直线交抛物线C于P、Q两点,设点P关于x轴的对称点为R,则直线RQ必过定点A(-m,0).
“逆向问题”二:已知椭圆C:的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),
过F2的直线交椭圆C于P、Q两点,设点P关于x轴的对称点为R,则直线RQ必过定点
“逆向问题”三:已知双曲线C:的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),
过F2的直线交双曲线C于P、Q两点,设点P关于x轴的对称点为R,则直线RQ必过定点
分析:(1)抛物线上任一点到焦点的距离比到y轴的距离大1,即有到准线的距离比到y轴的距离大1,所以的=1;
(2)由(1)得到的抛物线方程,可设出M,N两点坐标即设,则利用|MF|=2|NF|可得到M的坐标,然后利用M、F、N共线,可得t的值.进而求出直线斜率,利用直线方程的点斜式求出直线方程.
(3)在前面解答正确的前提下可得到所要求的“逆向”问题,这个“逆向”问题有多个答案,本题的逆向问题是把直线RQ过焦点F作为条件,于是可由把过点作为结论得到,也可以由点P关于x轴的对称点为R,RQ垂直x轴作为结论得到.
点评:本题考查圆锥曲线--抛物线的概念,几何性质以及应用;求曲线的方程,直线与圆锥曲线的位置关系及应用.命题的提出与证明,圆锥曲线与向量等知识交汇点的考查应用,同时注意对数形结合思想,定义法,设而不求思想等具体思想方法的考查.
练习册系列答案
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(Ⅰ)求抛物线C的方程;
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16(1-kb)k2

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1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒为定值.

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MA
MB
=0,则k=(  )

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