Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1．P，Q分别是棱DD₁，CD的中点．
（1）证明：AC₁⊥平面A₁BD；PQ∥平面A₁BD；
（2）探究：在棱B₁C₁上是否存在点M，使得二面角M-BD-A₁的大小为45°？若存在，则求出B₁M的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：连接AC，所以AC是AC₁在底面内的射影，
因为在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，所以AC⊥BD，
所以根据三垂线定理可得：AC₁⊥BD，同理可得：AC₁⊥A₁B，
因为BD∩A₁B=B，
所以AC₁⊥平面A₁BD．
因为P，Q分别是棱DD₁，CD的中点，
所以PQ∥CD₁，
所以PQ∥A₁B，
又因为A₁B?平面A₁BD，
所以PQ∥平面A₁BD．
（2）建立空间直角坐标系，如图所示：则A₁（0，0，1），B（1，0，0），D（0，1，0），设M（1，y，1），

所以，，，
设平面A₁BD与平面BDM的法向量分别为：，，
所以，即，取．
同理可得：．
因为二面角M-BD-A₁的大小为45°，
所以cos=，解得：，
所以|B₁M|=．
所以在棱B₁C₁上存在点M，使得二面角M-BD-A₁的大小为45°，并且B₁M的值为．
分析：（1）证明：连接AC，根据三垂线定理可得：AC₁⊥BD并且AC₁⊥A₁B，再根据线面垂直的判定定理可得线面垂直．
由P，Q分别是棱DD₁，CD的中点，可得PQ∥A₁B，再根据线面平行的判定定理可得线面平行．
（2）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再利用向量的有关运算得到两个平面的二面角，进而得到一个等式，即可求出答案．
点评：本题主要考查线面平行于线面垂直的判定定理，以及利用空间向量解决二面角的平面角的问题．