Question

关于函数f(x)=1-

1

2

cos2x-(

1

2

)|x|，有下面四个结论：①f（x）是偶函数；②当x＞2010时，f(x)＞

1

2

恒成立；③f（x）的最大值是

3

2

；④f（x）的最小值是-

1

2

．其中正确结论的序号是______．

Answer 1

y=f（x）的定义域为x∈R，且f（-x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，因此结论①正确．
对于结论②，取特殊值当x=1000π时，x＞2010，

1

2

cos2x=

1

2

，且（

1

2

）^1000π＞0
∴f（1000π）=

1

2

-（

1

2

）^1000π＜

1

2

，因此结论②错．
又f(x)=1-

1

2

cos2x-(

1

2

)|x|，-1≤cos2x≤1，
∴-

1

2

≤1-

1

2

cos2x≤

3

2

，（

1

2

）^|x|＞0
故1-

1

2

cos2x-（

1

2

）^|x|＜

3

2

，即结论③错．
而cos2x，（

1

2

）^|x|在x=0时同时取得最大值，
所以f（x）=1-

1

2

cos2x-（

1

2

）^|x|在x=0时可取得最小值-

1

2

，即结论④是正确的．
故答案为：①④