Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1．
（I）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（II）求二面角B-AB₁-D的大小；
（III）求点c到平面AB₁D的距离．

Answer 1

分析：法一（I）连接A₁B，设A₁B∩AB₁=E，连接DE．由ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，且AA₁=AB，知四边形A₁ABB₁是正方形，由此能够证明A₁C∥平面AB₁D．
（II）在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A₁ABB₁内作FG⊥AB₁于点G，连接DG．因为平面A₁ABB₁⊥平面ABC，所以DF⊥平面A₁ABB₁，∠FGD是二面角B-AB₁-D的平面角．由此能求出二面角B-AB₁-D的大小．
（III）因为平面B₁BCC₁⊥平面ABC，且AD⊥BC，所以AD⊥平面B₁BCC₁，又AD?平面AB₁D，所以平面B₁BCC₁⊥平面AB₁D．在平面B₁BCC₁内作CH⊥B₁D交B₁D的延长线于点H，由此能求出点C到平面AB₁D的距离．
解法二：
（I）建立空间直角坐标系D-xyz，连接A₁B，设A₁B∩AB₁=E，连接DE．设A₁A=AB=1，则D(0，0，0)，A1(0，

3

2

，1)，E(-

1

4

，

3

4

，

1

2

)，C(

1

2

，0，0)，

A1C

=-2

DE

，所以A₁C∥DE．由此能够证明A₁C∥平面AB₁D．
（II）由A(0，

3

2

，0)，B1(-

1

2

，0，1)，知

AD

=(0，

3

2

，0)，

B1D

=(

1

2

，0，-1)，设n₁=（p，q，r）是平面AB₁D的法向量，

n1

=（

3

，-1，0），同理，可求得平面AB₁B的法向量是n2=(

3

，-1，0)．由此能求出二面角B-AB₁-D的大小．
（III）平面AB₁D的法向量为n₁=（2，0，1），取其单位法向量n=(

2

5

，0，

1

5

)，又

DC

=(

1

2

，0，0)．由此能求出点C到平面AB₁D的距离．

解答：解法一（I）证明：

连接A₁B，设A₁B∩AB₁=E，连接DE．
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，且AA₁=AB，
∴四边形A₁ABB₁是正方形，
∴E是A₁B的中点，
又D是BC的中点，
∴DE∥A₁C．…（3分）
∵DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．…（4分）
（II）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，
在面A₁ABB₁内作FG⊥AB₁于点G，连接DG．
∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，∴DF⊥平面A₁ABB₁，
∴FG是DG在平面A₁ABB₁上的射影，
∵FG⊥AB₁，∴DG⊥AB₁
∴∠FGD是二面角B-AB₁-D的平面角 …（7分）
设A₁A=AB=1，在正△ABC中，DF=

3

4

．
在△ABE中，FG=

3

4

•BE=

3 2

8

，
在Rt△DFG中，tanFGD=

DF

FG

=

6

3

，
所以，二面角B-AB₁-D的大小为arctan

6

3

．…（9分）
（III）解：∵平面B₁BCC₁⊥平面ABC，且AD⊥BC，
∴AD⊥平面B₁BCC₁，又AD?平面AB₁D，
∴平面B₁BCC₁⊥平面AB₁D．
在平面B₁BCC₁内作CH⊥B₁D交B₁D的延长线于点H，
则CH的长度就是点C到平面AB₁D的距离．…（12分）
由△CDH∽△B₁DB，得CH=

BB1•CD

B1D

=

5

5

．
即点C到平面AB₁D的距离是

5

5

．…（14分）
解法二：
建立空间直角坐标系D-xyz，如图

（I）证明：
连接A₁B，设A₁B∩AB₁=E，连接DE．
设A₁A=AB=1，
则D(0，0，0)，A1(0，

3

2

，1)，E(-

1

4

，

3

4

，

1

2

)，C(

1

2

，0，0)．∴

A1C

=(

1

2

，-

3

2

，-1)，

DE

=(-

1

4

，

3

4

，

1

2

)，∴

A1C

=-2

DE

，
∴A₁C∥DE．…（3分）
∵DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．…（4分）
（II）解：∵A(0，

3

2

，0)，B1(-

1

2

，0，1)，
∴

AD

=(0，

3

2

，0)，

B1D

=(

1

2

，0，-1)，
设n₁=（p，q，r）是平面AB₁D的法向量，
则n1•

AD

=0，且n1•

B1D

=0，
故-

3

2

q=0，

1

2

p-r=0．取r=1，得n1=(2，0，1)；
同理，可求得平面AB₁B的法向量是n2=(

3

，-1，0)．…（7分）
设二面角B-AB₁-D的大小为θ，
∵cosθ=

n1•n2

|n1||n2|

=

15

5

，
∴二面角B-AB₁-D的大小为arccos

15

5

．…（9分）
（III）解由（II）得平面AB₁D的法向量为n₁=（2，0，1），
取其单位法向量n=(

2

5

，0，

1

5

)，又

DC

=(

1

2

，0，0)．
∴点C到平面AB₁D的距离d=|

DC

•n|=

5

5

．…（14分）

点评：本题考查直线和平面平行，求二面角的大小和求点到平面的距离，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意转化思想的灵活运用，合理地运用向量法解题．