Question

已知f（x）=2f（-x）-x²-12x-1对任意x∈R均成立，
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设g（x）=f（x）e^-x，求g（x）的单调区间．

Answer 1

解：由题意f（-x）=2f（x）-x²+12x-1，代入f（x）=2f（-x）-x²-12x-1得f（x）=x²-4x+1
（1）f′（x）=2x-4，∴f′（0）=-4，∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-4x+1；
（2）g（x）=（x²-4x+1）e^-x，g′（x）=（2x-4）e^-x-（x²-4x+1）e^-x=（-x²+6x-5）e^-x
令g′（x）＞0，函数增区间为（1，5），令g′（x）＜0，函数减区间为（-∞，1），（5，+∞）
分析：先求函数的解析式f（x）=x²-4x+1，（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，从而可得方程；（2）利用导数大于0，求增区间，利用导数小于0，求减区间．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数的几何意义求切线方程，属于基础题．