(1)求直线AC与平面PAB所成角的大小;
(2)在射线CP上确定一点Q,求CQ为多少时,能使二面角D-AQ-B的度数为θ,且cosθ=.
第18题图
答案:(1)解法一:过点C作为CE⊥PB,垂足为E,连接AE、EC、AC,如图a所示.
∵AB⊥PC,AB⊥BC,
∴AB⊥平面PBC,平面PAB⊥平面PBC,
故CE⊥平面PAB,∠EAC为所求的角
在Rt△AEC中,EC=,AC=
,∴∠EAC=
.
第18题图
解法二:分别以直线CD,CB,CP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系C-xyz,=(1,1,0),
=(-1,0,0),
=(0,1,-1),设n=(x,y,z)为平面PAB的一个法向量,则
,∴
,∴
,取y=1.
∴n=(0,1,1).设直线AC与平面PAB所成的二面角为θ,则sinθ=,θ=
.
(2)解法一:如图b所示,过点B作BF⊥QA,垂足为F,
连接FD,BD;
∵△QAB≌△QAO,FD⊥QA,
∴∠BFD是二面角D-QA-B的平面角
设QC=x,则FD=FB=,
cos∠DFB=,解得x=
即为所求的CQ的长.
第18题图(续)
解法二:设:Q(0,0,t),m=(x,y,z)为平面QAD的一个法向量,=(0,1,0),
=(-1,0,t).
由,得
取x=1,∴m=(1,0,);
同理,平面QAB的一个法向量n=(0,1,).
|cosθ|=,解得t=
.
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AE |
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3 |
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