Question

8．求下列函数的单调区间：
（1）y=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{4}$-2x）；
（2）y=cos2x．

Answer 1

分析 （1）该函数是由y=$\frac{1}{2}sint$和t=$\frac{π}{4}-2x$复合而成的复合函数，函数$t=\frac{π}{4}-2x$为减函数，从而使y=$\frac{1}{2}sint$为增函数的x所在区间便是原函数的单调减区间，使y=$\frac{1}{2}$sint为减函数的x所在区间便是原函数的单调增区间，这样根据正弦函数的单调区间便可得出原函数的单调增、减区间；
（2）和（1）同样的方法，根据复合函数的单调性及余弦函数的单调区间便可得出原函数的单调区间．

解答 解：（1）解$-\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{π}{4}-2x≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z得：$-\frac{π}{8}-kπ≤x≤\frac{3π}{8}-kπ，k∈Z$；
∴该函数的单调递减区间为$[-\frac{π}{8}-kπ，\frac{3π}{8}-kπ]$，k∈Z；
解$\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{π}{4}-2x≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z得：$-\frac{5π}{8}-kπ≤x≤-\frac{π}{8}-kπ，k∈Z$；
∴该函数的单调递增区间为[$-\frac{5π}{8}-kπ，-\frac{π}{8}-kπ$]，k∈Z；
（2）解-π+2kπ≤2x≤2kπ得，$-\frac{π}{2}+kπ≤x≤kπ$，k∈Z；
解2kπ≤2x≤π+2kπ得，$kπ≤x≤\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z；
∴该函数的单调递增区间为$[-\frac{π}{2}+kπ，kπ]，k∈Z$；
单调递减区间为[kπ，$\frac{π}{2}+kπ$]，k∈Z．

点评 考查复合函数的定义，以及复合函数的单调性的判断及单调区间的求法，正弦函数和余弦函数的单调区间，一次函数的单调性．