Question

下列命题是否正确？正确的给出证明，不正确的给予说明.

(1)a·b=0,则a=0或b=0;

(2)(a·b)·c=a(b·c);

(3)p²·q²=(p·q)²;

(4)|p+ q|·|p-q|=|p²-q²|;

(5)若a与(a·b)c-(a·c)b均不为0，则它们必垂直.

Answer 1

解析：(1)此命题不正确.∵a⊥b时a·b=0,?

∴a·b=0得不出a=0或b=0，只能得出a⊥b.?

(2)此命题不正确.∵a·b为一数量，∴(a·b)c为一向量，此向量的模为|(a·b)c|，与c共线；而a(b·c)也是一向量，但此向量与a共线，∴(a·b)c≠a(b·c).但这两个向量的模相等.由此可知，向量的数量积不满足结合律.?

(3)此命题不正确.∵p²·q²=|p|²·|q|²,?

而(p·q)²=(|p|·|q|·cos〈p,q〉)²=|p|²·|q|²·cos²〈p,q〉.

∴当且仅当p∥q时，p²·q²=(p·q)².?

(4)此命题是假命题.∵|p²-q²|=|(p+q)(p-q)|=|p+q|·|p-q||cosθ|〔其中θ为向量(p+q)与(p-q)的夹角〕,∴当且仅当θ=0或π时原等式才成立，而仅当p与q共线时，p+q与p-q才会共线.∴一般情况下，当p、q不共线时，|p+q|·|p-q|≠|p²-q²|.由此命题可知，对于向量a、b,|a|·|b|=|ab|a∥b.?

(5)正确.∵a·［(a·b)c-(a·c)b］?

=a·(a·b)c-a·(a·c)b?

=(a·b)(a·c)-(a·c)(a·b)=0，?

又由于a与(a·b)c-(a·c)b均为非零向量，?

∴a与(a·b)c-(a·c)b垂直.