Question

（1）已知两个等比数列{a_n}，{b_n}，满足a₁=a（a＞0），b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3，若数列{a_n}唯一，求a的值；
（2）是否存在两个等比数列{a_n}，{b_n}，使得b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃．b₄-a₄成公差不 为0的等差数列？若存在，求{a_n}，{b_n}的通项公式；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，根据等比数列的通项公式，由b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3表示出b₁，b₂，b₃，根据b₁，b₂，b₃成等比数列，再根据等比数列的通项公式得到等比数列{a_n}的首项与公比的关系式，把q看作未知数，根据a大于0得出根的判别式大于0，进而得到方程有两个不同的实根，又数列{a_n}唯一，得到方程必有一根为0，把q=0代入方程即可得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）利用反证法进行证明，假设存在，分别设出两等比数列的公比，根据等差数列的通项公式，b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃，b₄-a₄成公差不为0的等差数列，列出关系式，化简后分别求出两等比数列的首项及公比，分别求出b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃，b₄-a₄的公差为0，与已知的公差不为0矛盾，假设错误，进而得到不存在两个等比数列{a_n}，{b_n}，使得b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃．b₄-a₄成公差不 为0的等差数列．

解答：解：（1）设{a_n}的公比为q，
∵a₁=a（a＞0），b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3，
∴b₁=1+a，b₂=2+aq，b₃=3+aq²，
∵b₁，b₂，b₃成等比数列，
∴（2+aq）²=（1+a）（3+aq²）即aq²-4aq+3a-1=0，
∵a＞0，
∴△=4a²+4a＞0，
∴方程有两个不同的实根，
又∵数列{a_n}唯一，
∴方程必有一根为0，将q=0代入方程得a=

1

3

，
∴a=

1

3

；
（2）假设存在两个等比数列{a_n}，{b_n}，使b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃，b₄-a₄成公差不为0的等差数列，
设{a_n}的公比为q₁，{b_n}的公比为q₂，
则b₂-a₂=b₁q₂-a₁q₁，b₃-a₃=b₁q₂²-a₁q₁²，b₄-a₄=b₁q₂³-a₁q₁³，
由b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃，b₄-a₄成的等差数列得：

2(b1q2-a1q1)=b1-a1+(b1q22-a1q12)         2(b1q22-a1q12)=b1q2-a1q1+(b1q23-a1q13)

即

b1(q2-1)2-a1(q1-1)2=0① b1q2(q2-1)2-a1q1(q1-1)2=0②

，
①×q₂-②得：a₁（q₁-q₂）（q₁-1）²=0，
由a₁≠0得：q₁=q₂或q₁=1，
（i）当q₁=q₂时，由①，②得b₁=a₁或q₁=q₂=1，这时（b₂-a₂）-（b₁-a₁）=0与公差不为0矛盾；
（ii）q₁=1时，由①，②得b₁=0或q₂=1，这时（b₂-a₂）-（b₁-a₁）=0与公差不为0矛盾，
综上所述，不存在两个等比数列{a_n}，{b_n}，使得b₁-a₁，b₂-a₂，b₃-a₃．b₄-a₄成公差不为0的等差列．

点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及等比数列的性质化简求值，会利用反证法说明命题的真假，是一道中档题．