Question

（2010•武清区一模）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，则“f（x）是周期函数”的一个充要条件是（　　）

A．f（x）=cosx

B．?α∈R，f（α+x）=f（α-x）

C．f（1+x）=f（1-x）

D．?α∈R（α≠0），f（α+x）=f（α-x）

Answer 1

分析：根据充要条件的定义，逐一判断四个答案中的条件，与“f（x）是周期函数”的充要关系，比照后即可得到答案．

解答：解：f（x）=cosx，则函数的周期为2π，故“f（x）=cosx”是“f（x）是周期函数”的一个充分不必要条件，故A不正确；
?α∈R，f（α+x）=f（α-x），则任意实数都是函数的周期，故“?α∈R，f（α+x）=f（α-x）”是“f（x）是周期函数”的一个充分不必要条件，故B不正确；
f（1+x）=f（1-x），则函数的周期为2，故“f（1+x）=f（1-x）”是“f（x）是周期函数”的一个充分不必要条件，故C不正确；
?α∈R（α≠0），f（α+x）=f（α-x），则函数的周期为2α，故“?α∈R（α≠0），f（α+x）=f（α-x）”是“f（x）是周期函数”的一个充分不必要条件，故D正确；
故选D

点评：本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，函数的周期性，其中熟练掌握函数奇偶性，对称性，是解答本题的关键．