Question

1．如图，已知四边形ABCD和ABEG均为平行四边形，点E在平面ABCD内的射影恰好为点A，以BD为直径的圆经过点A，C，AG的中点为F，CD的中点为P，且AD=AB=AE
（Ⅰ）求证：平面EFP⊥平面BCE
（Ⅱ）求二面角P-EF-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AE⊥平面ABCD，从而平面ABCD⊥平面ABEG，从而EF⊥BC，再求出EF⊥BE，从而EF⊥平面BCE，由此能证明平面EFP⊥平面BCE．
（Ⅱ）以A 为原点，AD为x轴，AB为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-EF-B的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵点E在平面ABCD内的射影恰好为A，
∴AE⊥平面ABCD，
又AE?平面ABEG，
∴平面ABCD⊥平面ABEG，
又以BD为直径的圆经过点A，C，AD=AB，
∴ABCD为正方形，
又平面ABCD∩平面ABEG=AB，∴BC⊥平面ABEG，
∵EF?平面ABEG，∴EF⊥BC，
又AB=AE=GE，∴∠ABE=∠AEB=$\frac{π}{4}$，
又AG的中点为F，∴$∠AEF=\frac{π}{4}$，
∵$∠AEF+∠AEB=\frac{π}{2}$，∴EF⊥BE，
又BE?平面BCE，BC?平面BCE，BC∩BE=B，
∴EF⊥平面BCE，
又EF?平面EFP，
∴平面EFP⊥平面BCE．
解：（Ⅱ）如图，以A 为原点，AD为x轴，AB为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=2，则A（0，0，0），E（0，0，2），P（2，1，0），G（0，-2，2），
∵AG的中点为F，∴F（0，-1，-1），
故$\overrightarrow{PE}$=（-2，-1，2），$\overrightarrow{PF}$=（-2，-2，1），
设平面EFP的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=-2x-y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PF}=-2x-2y+z=0}\end{array}\right.$，令x=3，得$\overrightarrow{n}$=（3，-2，2），
由题意平面ABEG的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设二面角P-EF-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{17}}=\frac{3\sqrt{17}}{17}$．
∴二面角P-EF-B的余弦值为$\frac{3\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．