Question

（2013•揭阳二模）已知a＞0，函数f（x）=ax²-lnx．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当a=

1

8

时，证明：方程f(x)=f(

2

3

)在区间（2，+∞）上有唯一解；
（3）若存在均属于区间[1，3]的α，β且β-α≥1，使f（α）=f（β），证明：

ln3-ln2

5

≤a≤

ln2

3

．

Answer 1

分析：（1）先求出f^′（x），利用导数与函数单调性的关系即可得出；
（2）利用（1）的结论可知：f（x）-f(

2

3

)在区间（2，+∞）上单调递增，再验证函数零点存在定理的条件即可证明；
（3）由f（α）=f（β）及（1）的结论知α＜

2a

2a

＜β，从而f（x）在[α，β]上的最大值为f（α）（或f（β）），又由β-α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．利用其单调性解出即可．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域（0，+∞），f′(x)=2ax-

1

x

=

2ax2-1

x

．
∵a＞0，令f'（x）＞0得：x＞

2a

2a

，令f'（x）＜0得：0＜x＜

2a

2a

．
∴函数f（x）的单调递减区间为(0，

2a

2a

)，单调递增区间为(

2a

2a

，+∞)．
（2）证明：当a=

1

8

时，f(x)=

1

8

x2-lnx，由（1）知f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞），
令g(x)=f(x)-f(

2

3

)，则g（x）在区间（2，+∞）单调递增且g（2）=f（2）-f(

2

3

)=

1

2

-ln2-

1

18

+ln

2

3

=

2

9

-ln3＜0，
g(e2)=

e4

8

-2-

1

18

+ln

2

3

＞0．
∴方程f(x)=f(

2

3

)在区间（2，+∞）上有唯一解．
（3）证明：由f（α）=f（β）及（1）的结论知α＜

2a

2a

＜β，
从而f（x）在[α，β]上的最大值为f（α）（或f（β）），
又由β-α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．
故

f(1)≥f(α)≥f(2) f(3)≥f(β)≥f(2)

，即

a≥4a-ln2 9a-ln3≥4a-ln2

从而

ln3-ln2

5

≤a≤

ln2

3

．

点评：本题考查了利用导数研究函数单调性、极值、最值得方法，函数零点判定定理等基础知识与基本技能，灵活构造函数和善于利用已经证明的结论是解题的关键．