Question

1．设a＞0，b＞1，若a+b=2，且不等式$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b-1}$＞m²+8m恒成立，则m的取值范围是（　　）

• A． m＞9或m＜-1
• B． m＞1或m＜-9
• C． -9＜m＜1
• D． -1＜m＜9

Answer 1

分析 只需求得$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b-1}$的最小值，由基本不等式可求．

解答 解：∵a+b=2，
∴a+b-1=1，
∴（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b-1}$）（a+b-1）=4+4•$\frac{b-1}{a}$+$\frac{a}{b-1}$+1
≥5+2•2=9（当且仅当4•$\frac{b-1}{a}$=$\frac{a}{b-1}$时取“=”），
∴$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b-1}$的最小值为9，
则由不等式$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b-1}$＞m²+8m恒成立，
得：m²+8m＜9，即（m+9）（m-1）＜0，
解得：-9＜m＜1．
故选：C．

点评 该题考查利用基本不等式求函数的最值、考查函数恒成立问题，考查转化思想．