Question

已知边长为2的菱形ABCD，如图（a）所示，∠BAD=60°，过D点作DE⊥AB于E点，现沿着DE折成一个直二面角，如图（b）所示；
（1）求AC与BD所成角的余弦值；
（2）求点D到平面ABC的距离；
（3）连接CE，在CE上取点G，使EG=

2 7

7

，连接BG，求证：AC⊥BG．

Answer 1

分析：（1）以E点为原点，以EA为x轴，EB为y轴，ED为z轴建立空间直角坐标系，分别求向量

AC

与

BD

，最后根据向量的夹角公式可求出AC与BD所成角的余弦值；
（2）先求平面ABC的一个法向量

n

，以及向量

DB

，设D到平面ABC的距离为d，然后根据d=

n • DB

| n |

进行求解；
（3）先求出点G的坐标，然后根据向量

BG

与

AC

的数量积为0，判定AC与BG垂直．

解答：解：（1）以E点为原点，以EA为x轴，EB为y轴，ED为z轴建立空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，2，

3

)，D(0，0，

3

)
∴

AC

=(-1，2，

3

)，

BD

=(0，-1，

3

)∴

AC

•

BD

=1
而|

AC

|=2

2

，|

BD

|=2，
设AC与BD所成的角为θ，则cosθ=

AC • BD

| AC |•| BD

=

2

8

…（4分）
（2）设平面ABC的法向量为

n

=(x，y，z)，则有

n • AC =0 n • BC =0

∴

n

=(-

3

，-

3

，1)
又

DB

=(0，1，-

3

)，
设D到平面ABC的距离为d，则d=

n • DB

| n |

=

2 21

7

…（8分）
（3）可求得cos∠BEC=

2 7

7

，sin∠BEC=

21

7

则G(0，

4

7

，

2 3

7

)
∴

BG

=(0，-

3

7

，

2 3

7

)
∴

BG

•

AC

=0
∴

BG

⊥

AC

…（12分）

点评：本题主要考查了利用空间向量的方法解决立体几何问题，同时考查了计算能力，属于中档题．