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在球面上有四个点P、A、B、C,若PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC=a,求这个球的体积和表面积.
分析:由题意三棱锥是正方体的一个角,它的外接球就是三棱锥扩展为正方体的外接球,正方体的体对角线就是外接球的直径,求出直径即可求出这个球的体积和表面积.
解答:解:三棱锥是正方体的一个角,它的外接球就是三棱锥扩展为正方体的外接球,正方体的体对角线就是外接球的直径,
所以正方体的体对角线长为:
3
a,球的半径为:
3
a
2

所以球的体积为:
3
r3 =
3
×(
3
a
2
)
3
=
3
2
a3π

球的表面积为:4πr2=(
3
a
2
)
2
=3πa2
点评:本题是基础题,考查三棱锥的外接球,几何体的扩展,确定三棱锥与扩展的正方体的外接球是同一个,以及正方体的体对角线就是球的直径是解好本题的前提.
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