【题目】如图所示,在底面为正方形的四棱柱中, .
(1)证明:平面平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:
(1)连交于,由条件可得,又由得到 ,从而可得平面.由四边形为平行四边形可得,所以平面,因此平面平面.(2)由条件可得两两垂直,建立空间直角坐标系,求出平面的法向量和直线的法向量,根据两向量的夹角的余弦值可求得线面角的正弦值.
试题解析:
(1)证明:连交于,则为中点,
∵,
∴.
∵, 为公共边,
∴,
∴.
又, ,
∴平面.
由题意得,故四边形为平行四边形.
∴,
∴平面,
又平面内,
∴ 平面平面.
(2)由题意得两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵,
∴为等边三角形,
∴.
又,
∴.
则.
∴, ,
.
设平面的一个法向量为,
由可得 ,
令,则 .
设与平面所成角为,
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
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【题目】据中国日报网报道:2017年11月13日,TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示,中国超算在前五名中占据两席.其中超算全球第一“神威·太湖之光”完全使用了国产品牌处理器.为了了解国产品牌处理器打开文件的速度,某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试,结果如下:(数值越小,速度越快,单位是MIPS)
(Ⅰ)从品牌的12次测试中,随机抽取一次,求测试结果小于7的概率;
(Ⅱ)从12次测试中,随机抽取三次,记为品牌的测试结果大于品牌的测试结果的次数,求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)经过了解,前6次测试是打开含有文字与表格的文件,后6次测试时打开含有文字与图片的文件.请你依据表中数据,运用所学的统计知识,对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.
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【题目】已知集合,其中 . 表示 中所有不同值的个数.
(Ⅰ)若集合,求;
(Ⅱ)若集合,求证: 的值两两不同,并求;
(Ⅲ)求的最小值.(用含的代数式表示)
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【题目】某校初三年级有名学生,随机抽查了名学生,测试分钟仰卧起坐的成绩(次数),将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.用样本估计总体,下列结论正确的是( )
A. 该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数的中位数为次
B. 该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数的众数为次
C. 该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数超过次的人数约有人
D. 该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数少于次的人数约为人.
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【题目】如图在棱锥中, 为矩形, 面, , 与面成角, 与面成角.
(1)在上是否存在一点,使面,若存在确定点位置,若不存在,请说明理由;
(2)当为中点时,求二面角的余弦值.
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【题目】某公司为了准确把握市场,做好产品计划,特对某产品做了市场调查:先销售该产品50天,统计发现每天的销售量分布在内,且销售量的分布频率
.
(Ⅰ)求的值并估计销售量的平均数;
(Ⅱ)若销售量大于等于70,则称该日畅销,其余为滞销.在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天,再从这8天中随机抽取3天进行统计,设这3天来自个组,求随机变量的分布列及数学期望(将频率视为概率).
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【题目】给出下面四个类比结论:
①实数a,b,若ab=0,则a=0或b=0;类比复数z1,z2,若z1z2=0,则z1=0或z2=0.
②实数a,b,若ab=0,则a=0或b=0;类比向量a,b,若a·b=0,则a=0或b=0.
③实数a,b,有a2+b2=0,则a=b=0;类比复数z1,z2,有z+z=0,则z1=z2=0.
④实数a,b,有a2+b2=0,则a=b=0;类比向量a,b,若a2+b2=0,则a=b=0.
其中类比结论正确的个数是( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
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