Question

已知奇函数f（x）在[0，+∞）上的图象是如图所示的抛物线的一部分．
（1）请补全函数f（x）的图象；
（2）求函数f（x）的表达式；
（3）根据图象，写出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的单调性及单调区间

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数图象的特点，奇函数图象关于原点对称，补全函数f（x）的图象；
（2）当x大于0时，根据图象找出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，又根据抛物线过原点，把原点坐标代入即可确定出抛物线的解析式；当x小于0时，-x大于0，代入所求的抛物线解析式中，化简可得x小于0时的解析式，综上，得到f（x）的分段函数解析式；
（3）根据图象及二次函数的对称轴，即可写出f（x）的递增区间及递减区间．

解答： 解：（1）根据奇函数图象的特点，画出图形，如图所示：
（2）当x≥0时，设f（x）=a（x-1）²⁺2，又f（0）=0，得a=-2，即f（x）=-2（x-1）²+2；
当x＜0时，-x＞0，则f（x）=-f（-x）=-[-2（-x-1）²+2]=2（x+1）²-2，
所以f（x）=

-2(x+1)2+2，(x≥0) 2(x+1)2-2，(x＜0)

；
（3）根据函数图象可知：
函数f（x）的单调递增区间是：[-1，1]．
函数f（x）的单调递减区间是：（-∞，-1]或[1，+∞）

点评：此题考查了奇偶函数的对称性，函数的单调性及单调区间，以及二次函数的图象与性质．要求学生掌握奇偶函数的性质及二次函数的性质，掌握二次函数解析式的确定方法，运用数形结合的思想解决数学问题．