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已知{an}是等差数列,{bn}是公比为q的等比数列,a1=b1,a2=b2≠a1,记Sn为数列{bn}的前n项和,
(1)若bk=am(m,k是大于2的正整数),求证:Sk-1=(m-1)a1
(2)若b3=ai(i是某一正整数),求证:q是整数,且数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项;
(3)是否存在这样的正数q,使等比数列{bn}中有三项成等差数列?若存在,写出一个q的值,并加以说明;若不存在,请说明理由;
分析:(1)设{an}的公差为d,由a1=b1,把bk=am代入a1qk-1=a1,进而可表示出Sk-1,题设得证.
(2)利用)b3=a1q2,ai=a1+(i-1)a1(q-1),进而可得q2=1+(i-1)(q-1),q2-(i-1)q+(i-2)=0,整理即可求得q=i-2,进而可判定i-2是整数,即q是整数,设数列{bn}中任意一项为bn=a1qn-1(n∈N+),设数列{an}中的某一项am(m∈N+)=a1+(m-1)a1(q-1)只要证明存在正整数m,使得bn=am,即在方程a1qn-1=a1+(m-1)a1(q-1)中m有正整数解即可.
(3)设数列{bn}中有三项bm,bn,bp(m<n<p,m,n,p∈N+)成等差数列,利用等差中项的性质建立等式,设n-m=x,p-n=y,进而可得以2=
1
qx
+qy
,令x=1,y=2,求得q.
解答:解:设{an}的公差为d,由a1=b1,a2=b2≠a1,知d≠0,q≠1,d=a1(q-1)(a1≠0)
(1)因为bk=am,所以a1qk-1=a1+(m-1)a1(q-1),qk-1=1+(m-1)(q-1)=2-m+(m-1)q,
所以Sk-1=
a1(1-qk-1)
1-q
=
a1(m-1-(m-1)q)
q
=(m-1)a1

(2)b3=a1q2,ai=a1+(i-1)a1(q-1),由b3=ai
所以q2=1+(i-1)(q-1),q2-(i-1)q+(i-2)=0,解得,q=1或q=i-2,但q≠1,所以q=i-2,因为i是正整数,所以i-2是整数,即q是整数,设数列{bn}中任意一项为bn=a1qn-1(n∈N+),设数列{an}中的某一项am(m∈N+)=a1+(m-1)a1(q-1)
现在只要证明存在正整数m,使得bn=am,即在方程a1qn-1=a1+(m-1)a1(q-1)中m有正整数解即可,qn-1=1+(m-1)(q-1),m-1=
qn-1-1
q-1
=1+q+q2+qn-2
,所以m=2+q+q2+qn-2,若i=1,则q=-1,那么b2n-1=b1=a1,b2n=b2=a2,当i≥3时,因为a1=b1,a2=b2,只要考虑n≥3的情况,因为b3=ai,所以i≥3,因此q是正整数,所以m是正整数,因此数列{bn}中任意一项为bn=a1qn-1(n∈N+)与数列{an}的第2+q+q2+qn-2项相等,从而结论成立.
(3)设数列{bn}中有三项bm,bn,bp(m<n<p,m,n,p∈N+)成等差数列,则有
2a1qn-1=a1qm-1+a1qp-1,设n-m=x,p-n=y,(x,y∈N+),所以2=
1
qx
+qy
,令x=1,y=2,则q3-2q+1=0,(q-1)(q2+q-1)=0,因为q≠1,所以q2+q-1=0,所以q=
5
-1
2
(舍去负值)
,即存在q=
5
-1
2
使得{bn}中有三项bm,bm+1,bm+3(m∈N+)成等差数列.
点评:本题主要考查了数列的求和问题.考查了学生对数列基本知识点的综合掌握.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知
i
=(1,0),
jn
=(cos2
2
,sin
2
),
Pn
=(an,sin
2
)(n∈N+),数列{an}
满足:a1=1,a2=1,an+2=(i+
jn
)•
Pn

(I)求证:数列{a2k-1}是等差数;数列{a2k}是等比数列;(其中k∈N*);
(II)记an=f(n),对任意的正整数n≥2,不等式(cosnπ)[f(n2)-λf(2n)]≤0,求λ的取值范围.

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=(1,0),
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=(cos2
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,sin
2
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2
)(n∈N+),数列{an}
满足:a1=1,a2=1,an+2=(i+
jn
)•
Pn

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