Question

已知函数f（x）=mx³-x²+nx+13（m、n∈R）．
（1）若函数f（x）在x=-2与x=1时取得极值，求m、n的值；
（2）当m=n=0时，若f（x）在闭区间[a，b]（a＜b）上有最小值4a，最大值4b，求区间[a，b]．

Answer 1

解（1）f′（x）=3mx²-2x+n，由题意知-2和1是方程f′（x）=0的两根，所以-2+1=，-2×1=，解得m=-，n=4．
（2）当m=n=0时，f（x）=-x²+13．
①若a＜b≤0，因为f（x）在[a，b]上单调递增，所以f（a）=4a，f（b）=4b，即，
所以a，b是方程x²+4x-13=0的两个不等实根，但此方程两根异号，与a＜b≤0矛盾，此时无解；
②若0≤a＜b，f（x）在[a，b]上单调递减，
所以f（a）=4b，f（b）=4a，即，解得a=1，b=3，
所以[a，b]=[1，3]；
③若a＜0＜b，f（x）在[a，0]上单调递增，在[0，b]上单调递减，
所以f（x）_max=f（0）=13=4b，b=，f（b）=f（）=-+13＞0，
因a＜0，最小值4a＜0，所以f（x）在x=a是取得最小值4a，即-a²+13=4a，解得a=-2-，
此时[a，b]=[-2-，]，
综上所求区间为[1，3]或[-2-，]．
分析：（1）先求导数f′（x），由题意可知-2和1是方程f′（x）=0的两根，根据韦达定理列方程组解出即可；
（2）当m=n=0时，f（x）=-x²+13为二次函数，按区间与对称轴的位置关系分三种情况讨论即可：①若a＜b≤0，②若0≤a＜b，③若a＜0＜b，注意检验；
点评：本题考查函数在某点取得极值的条件、二次函数在闭区间上的最值问题，考查分类讨论思想，属中档题．