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4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<$\frac{π}{2}$)的最小正周期为π,图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调增区间;
(Ⅲ)在给定的坐标系中画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.

分析 (Ⅰ)由函数的周期求出ω的值,可得函数的解析式.
(Ⅱ)由条件利用正弦函数的增区间求得函数f(x)的单调增区间.
(Ⅲ)用五点法作出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.

解答 解:(Ⅰ)∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<$\frac{π}{2}$)的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=π,∴ω=2.
再根据函数的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称,可得2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈z,即 φ=kπ-$\frac{π}{6}$,∴φ=-$\frac{π}{6}$,
故f(x)=sin(2x-$\frac{π}{6}$).
(Ⅱ)令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈z,求得 kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$,
可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$,kπ+$\frac{π}{3}$],k∈z.
(Ⅲ)用五点法作函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象:
列表:

 2x-$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$ 0 $\frac{π}{2}$ π $\frac{3π}{2}$ $\frac{11π}{6}$
 x 0 $\frac{π}{12}$ $\frac{π}{3}$ $\frac{7π}{12}$ $\frac{5π}{6}$ π
 y-$\frac{1}{2}$ 0 1 0-1-$\frac{1}{2}$
作图:

点评 本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,正弦函数的周期性、单调性,用五点法作出正弦函数在一个周期上的简图,属于中档题.

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