Question

已知向量

a

，

b

均为单位向量，他们的夹角为60°，实数x，y满足|x

a

+y

b

|=

3

，那么x+2y的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：计算题,平面向量及应用

分析：先进行化简，把问题转化为一元二次方程有实数根即可求出．

解答： 解：∵向量

a

，

b

均为单位向量，它们的夹角为60°，
∴

a

•

b

=

1

2

∵实数x、y满足|x

a

+y

b

|=

3

，
∴两边平方化为y²+xy+x²-3=0．
设t=x+2y，则x=t-2y，
代入可得3y²-3ty+t²-3=0
把此方程看作关于y的一元二次方程且此方程有实数根，
则△=9t²-12（t²-3）≥0，解得t≤-2

3

或t≥2

3

．
∴x+2y的最大值为2

3

．
故答案为：2

3

．

点评：熟练掌握数量积的运算和一元二次方程有实数根的充要条件是解题的关键．