Question

【题目】对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数.

（Ⅰ）定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足.

（1）求证： 是数列的母函数；

（2）求数列的前项和.

（Ⅱ）已知是数列的母函数，且.若数列的前项和为，求证： .

Answer 1

【答案】(Ⅰ)(1)证明见解析；(2) ；(Ⅱ)证明见解析.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)(1)由题意结合母函数的定义即可证得结论；

(2)由题意错位相减可得；

(Ⅱ)由题意结合不等式的特点即可证得题中的结论.

试题解析：

（Ⅰ）(1)由题知，且

.

是数列的母函数；

(2) 由(1) 知： 是首项和公差均为的等差数列，故.

①

②

两式相减得： .

.

（Ⅱ）由题知： ， .

.

从而是以为首项， 为公比的等比数列

又

故当时

.