Question

设椭圆M：(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为，设过右焦点F倾斜角为的直线交椭圆M于A，B两点。

（1）求椭圆M的方程；

（2）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求|AB| + |CD|的最小值。

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）

【解析】（1）所求椭圆M的方程为…3分

（2）当≠，设直线AB的斜率为k = tan，焦点F ( 3 , 0 )，则直线AB的方程为

              y = k ( x – 3 )         有( 1 + 2k² )x² – 12k²x + 18( k² – 1 ) = 0

              设点A ( x₁ , y₁ ) , B ( x₂ , y₂ )             有x₁ + x₂ =, x₁x₂ =

       |AB| =  又因为   k = tan=代入**式得

       |AB| =

当=时，直线AB的方程为x = 3，此时|AB| =

而当=时，|AB| ==|AB| =    

同理可得       |CD| ==  有|AB| + |CD| =+=

因为sin2∈[0，1]，所以  当且仅当sin2=1时，|AB|+|CD|有最小值是