Question

已知二次函数f（x）=ax²+2x+a，对于满足x₁＜x₂且x₁+x₂=1-a的任意实数x₁与x₂，总有f（x₁）＜f（x₂）成立，则实数a的取值范围为

 

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Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：若f（x₁）＜f（x₂）恒成立，故ax₁²+2x₁+a＜ax₁²+2x₁+a恒成立，结合x₁＜x₂且x₁+x₂=1-a，可得a（1-a）+2＞0恒成立，解得答案．

解答： 解：若f（x₁）＜f（x₂）恒成立，
故ax₁²+2x₁+a＜ax₁²+2x₁+a恒成立，
即ax₁²+2x₁-（ax₁²+2x₁）＜0恒成立，
即a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（x₁-x₂）＜0恒成立，
∵x₁＜x₂且x₁+x₂=1-a，
∴a（1-a）+2＞0恒成立，即a²-a-2＜0恒成立，
解得a∈（-1，2），
又由a≠0，
∴a∈（-1，0）∪（0，2），
故答案为：（-1，0）∪（0，2）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，其中根据已知可得a（1-a）+2＞0，是解答的关键．