Question

已知抛物线x²=2y的焦点为F，准线为l，过l上一点P，作抛物线的两条切线，切点分别为A、B，某数学兴趣小组在研究讨论中，提出如下两个猜想：
①直线PA、PB垂直；
②等式

FA

•

FB

=λ 

FP

2中λ为常数；现请你进行一一验证这两个猜想是否成立．

Answer 1

分析：①要证直线PA、PB垂直，只需证相应斜率为-1；
②分别用坐标表示向量，分别计算

FA

•

FB

，

FP

2，可得λ=-1．

解答：解：①由题意，可设点P（t，-0.5）．A（2a，2a²）．B（2b，2b²）．对2y=x²求导得：y'=x．易知；

2a2+0.5

2a-t

=2a，

2b2+0.5

2b-t

=2b，即a，b满足2x²+0.5=4x²-2tx．∴2x²-2tx-0.5=0．∴ab=-

1

4

．
又两切线PA，PB的斜率为2a，2b．而2a×2b=4ab=-1．故PA，PB垂直．
②

FA

=(2a，2a2-

1

2

)，

FB

=(2b，2b2-

1

2

)
∴

FA

•

FB

=4ab-a2-b2+

1

4

+4a2b2=-

1

2

-a2-b2
∵P（a+b，-

1

8

），∴

FP

=(a+b，-

5

8

)，∴

FP

2=(a+b，-

3

2

)
∴

FP

2=

1

2

+a2+b2
∴

FA

•

FB

=-

FP

2
∴λ=-1

点评：本题以抛物线为载体，考查导数的运用，考查直线的垂直，考查用坐标表示向量，有一定的综合性．