Question

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=BC=BB₁=2，D点为棱AB的中点．
（1）求证：AC₁∥平面CDB₁
（2）求BB₁与平面CDB₁所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）证明线面平行，只需证明AC₁平行于平面CDB₁内的一条直线，利用三角形的中位线可证；
（2）先证明平面CDB₁⊥ABB₁A₁，过B作BE⊥B₁D，则∠BB₁E是BB₁与平面CDB₁所成角，从而可求BB₁与平面CDB₁所成角的正切值．

解答：（1）证明：连接BC₁交B₁C于M，连接DM
∴M是B₁C的中点
∵D是AB的中点，∴MD∥AC₁，
又MD?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（2）解：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D点为棱AB的中点．
∴CD⊥平面ABB₁A₁，
∵CD?平面CDB₁．
∴平面CDB₁⊥ABB₁A₁，
过B作BE⊥B₁D，∵平面CDB₁∩ABB₁A₁=B₁D
∴BE⊥平面CDB₁．
∴∠BB₁E是BB₁与平面CDB₁所成角
∵BB₁⊥BD
∴△BEB₁∽△DBB₁，
由BD=

1

2

AB=1，BB1=2得tan∠BB1E=

1

2

即BB₁与平面CDB₁所成角的正切值为

1

2

点评：本题重点考查线面平行，考查线面角，解题的关键是正确运用线面平行的判断，正确找出线面角，综合性强．