Question

椭圆G：的两个焦点F₁（－c，0）、F₂（c，0），M是椭圆上的一点，且满足
（Ⅰ）求离心率e的取值范围；
（Ⅱ）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为求此时椭圆G的方程；（ⅱ）设斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由

Answer 1

（1）；（2）(i)所求椭圆方程为，（ⅱ）当时，A、B两点关于点P、Q的直线对称。

（I）设M（x₀，y₀）
                ①
又 ②
由②得代入①式整理得
又
解得

（Ⅱ）（i）当
设H（x，y）为椭圆上一点，则

若0
由（舍去）
若b≥3，当y=－3时，|HN|²有最大值2b²+18
由2b²+18=50得b²=16
∴所求椭圆方程为
（ii）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），则由
            ③
又直线PQ⊥直线l   ∴直线PQ方程为
将点Q（x₀，y₀）代入上式得，   ④
由③④得Q
（解1）而Q点必在椭圆内部  
由此得

故当时A、B两点关于点P、Q的直线对称
（解2）∴AB所在直线方程为
由得

显然1+2k²≠0
而

直线l与椭圆有两不同的交点A、B ∴△＞0
解得

故当时，A、B两点关于点P、Q的直线对称。
（ii）另解；设直线l的方程为y=kx+b
由得

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），则
     ③
又直线PQ⊥直线l   ∴直线PQ方程为
将点Q（x₀，y₀）代入上式得，   ④
将③代入④⑤
∵x₁，x₂是（*）的两根
⑥
⑤代入⑥得
∴当时，A、B两点关于点P、Q的直线对称。