分析 (1)由已知得AD∥平面FBC,DE∥平面FBC,从而平面FBC∥平面EAD,由此能证明FC∥平面EAD.
(2)连接FO、FD,由OA,OB,OF两两垂直,建立空间直角坐标系O-xyz,利用向量法能求出直线AF与平面BCF所成角的余弦值.
解答 证明:(1)∵四边形ABCD与BDEF均为菱形,
∴AD∥BC,DE∥BF.
∵AD?平面FBC,DE?平面FBC,BC?平面FBC,BF?平面FBC,
∴AD∥平面FBC,DE∥平面FBC,
又AD∩DE=D,AD?平面EAD,DE?平面EAD,
∴平面FBC∥平面EAD,
又FC?平面FBC,∴FC∥平面EAD.
解:(2)连接FO、FD,∵四边形BDEF为菱形,且∠DBF=60°,
∴△DBF为等边三角形,
∵O为BD中点,∴FO⊥BD,
又∵O为AC中点,且FA=FC,∴AC⊥FO,
又AC∩BD=O,∴FO⊥平面ABCD.
由OA,OB,OF两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz
设AB=2,因为四边形ABCD为菱形,∠DAB=60°,则BD=2,OB=1,OA=OF=$\sqrt{3}$,
∴O(0,0,0),A($\sqrt{3}$,0,0),B(0,1,0),C(-$\sqrt{3}$,0,0),F(0,0,$\sqrt{3}$),
$\overrightarrow{CF}$=($\sqrt{3},0,\sqrt{3}$),$\overrightarrow{CB}$=($\sqrt{3},1,0$),$\overrightarrow{AF}$=(-$\sqrt{3}$,0,$\sqrt{3}$),
设平面BCF的一个法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=\sqrt{3}x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,-$\sqrt{3}$,-1),
设直线AF与平面BCF所成角为θ,
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{6}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$,
∴cosθ=$\sqrt{1-(\frac{\sqrt{10}}{5})^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$,
∴直线AF与平面BCF所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$.
点评 本题考查线面平行的证明,考查线面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | {x|1<x<2} | B. | {x|0<x≤1} | C. | {x|0<x<1} | D. | {x|1≤x<2} |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{30}$ | B. | $\frac{1}{15}$ | C. | $\frac{1}{10}$ | D. | $\frac{1}{5}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | {x|-1<x<3} | B. | {x|1<x≤3} | C. | {x|-1≤x<2} | D. | {x|x>2} |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 32 | B. | 36 | C. | 48 | D. | 64 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (kπ+$\frac{π}{6}$,kπ+$\frac{π}{2}$)k∈Z | B. | [kπ+$\frac{π}{6}$,kπ+$\frac{π}{2}$)k∈Z | C. | [kπ+$\frac{π}{3}$,kπ+$\frac{π}{2}$)k∈Z | D. | (kπ+$\frac{π}{3}$,kπ+$\frac{π}{2}$)k∈Z |
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