Question

如图在四棱锥P-ABCD中，底ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，AP=AB=2，BC=2

2

，E、F、G分别为AD、PC、PD的中点．
（1）求证：FG∥面ABCD
（2）求面BEF与面BAP夹角的大小．

Answer 1

分析：（1）因为F、G分别为PC、PD的中点，FG∥CD并且FG=

1

2

CD．根据线面平行的判断定理可得FG∥平面ABCD．
（2）建立空间坐标系，利用向量的基本运算分别求出面BPA的法向量为：

AD

=(0，2

2

，0)，面BEF的法向量为

m

=（1，

2

，-1），再结合向量的运算求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．

解答：解：（1）证明：∵F、G分别为PC、PD的中点，
∴在△PCD中，FG∥CD并且FG=

1

2

CD．
又因为DC?平面ABCD，FG?平面ABCD，
所以FG∥平面ABCD．
（2）分别以AB、AD、AP为空间坐标系的x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系B（2，0，0），E（0，

2

，0）

F（1，

2

，1），P（0，0，2），D（0，2

2

，0）
面BPA的法向量为：

AD

=(0，2

2

，0)，设面BEF的法向量为

m

=（x，y，z）
所以

m • BE =0 m • BF =0

，即

-2x+ 2 y=0 -x+ 2 y+z=0

，
令y=

2

，∴m=（1，

2

，-1）
∴面BAP与面BEF的夹角θ的余弦为：cosθ=

m • AD

| m || AD |

=

4

4 2

=

2

2

，
∴θ=

π

4

．
所以面BEF与面BAP夹角的大小为

π

4

．

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，得到相片关系以及便于建立坐标系，利用向量的有关知识解决空间角、空间距离等问题．