Question

已知点F1、F2分别是

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞o，b＞0）的左、右焦点，A、B是以0（O为坐标原点）为圆心，|OF₁|为半径的圆与双曲线左支的两个交点，且满足△F₂AB是正三角形，则此双曲线的离心率为（　　）

• A、

  3

  +1
• B、

  13

  2

• C、

  5

• D、

  3

Answer 1

分析：先设F₁F₂=2c，根据△F₂AB是等边三角形，判断出∠AF₂F₁=30°，进而在RT△AF₁F₂中求得AF₁和AF₂，进而根据双曲线的定义列出关于a的方程，用c表示出a，利用双曲线的离心率公式即可求得．

解答：解：如图，设F₁F₂=2c，
∵△F₂AB是等边三角形，
∴∠AF₂F₁=30°，
∴AF₁=c，AF₂=

3

c，
∴a=

3 c-c

2

e=

c

a

=

2c

3 c-c

=

3

+1．
故选A

点评：此题要求学生掌握定义：到两个定点的距离之差等于|2a|的点所组成的图形即为双曲线．考查了数形结合思想、本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．