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已知点F1、F2分别是
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>o,b>0)的左、右焦点,A、B是以0(O为坐标原点)为圆心,|OF1|为半径的圆与双曲线左支的两个交点,且满足△F2AB是正三角形,则此双曲线的离心率为(  )
A、
3
+1
B、
13
2
C、
5
D、
3
分析:先设F1F2=2c,根据△F2AB是等边三角形,判断出∠AF2F1=30°,进而在RT△AF1F2中求得AF1和AF2,进而根据双曲线的定义列出关于a的方程,用c表示出a,利用双曲线的离心率公式即可求得.
解答:精英家教网解:如图,设F1F2=2c,
∵△F2AB是等边三角形,
∴∠AF2F1=30°,
∴AF1=c,AF2=
3
c,
∴a=
3
c-c
2

e=
c
a
=
2c
3
c-c
=
3
+1.
故选A
点评:此题要求学生掌握定义:到两个定点的距离之差等于|2a|的点所组成的图形即为双曲线.考查了数形结合思想、本题凸显解析几何的特点:“数研究形,形助数”,利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•聊城一模)已知点F1,F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦点,P是椭圆C上的一点,且|F1F2|=2,∠F1PF2=
π
3
,△F1PF2
的面积为
3
3

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)点M的坐标为(
5
4
,0)
,过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A,B两点,对于任意的k∈R,
MA
MB
是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•青州市模拟)已知点F1,F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,点P为椭圆上任意一点,P到焦点F2的距离的最大值为
2
+1
,且△PF1F2的最大面积为1.
( I)求椭圆C的方程.
( II)点M的坐标为(
5
4
,0)
,过点F2且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A,B两点.对于任意的k∈R,
MA
MB
是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点F1,F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,点P为椭圆上任意一点,P到焦点F2(1,0)的距离的最大值为
2
+1.
(1)求椭圆C的方程.
(2)点M的坐标为(
5
4
,0),过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A,B两点.对于任意的k∈R,
MA
MB
是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由.

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科目:高中数学 来源:山东省期中题 题型:解答题

已知点F1,F2分别为椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点,点P为椭圆上任意一点,P到焦点F2的距离的最大值为+1,且△PF1F2的最大面积为1。
(1)求椭圆C的方程。
(2)点M的坐标为,过点F2且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A,B两点。对于任意的k∈R,是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由。 

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年山东省青岛十九中高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

已知点F1,F2分别为椭圆C:的左右焦点,P是椭圆C上的一点,且的面积为
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)点M的坐标为,过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A,B两点,对于任意的是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由.

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