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7.如图,A,B是单位圆上的相异两定点(O为圆心),且∠AOB=θ(θ为锐角).点C为单位圆上的动点,线段AC交线段OB于点M.
(1)求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AB}$(结果用θ表示);
(2)若θ=60°
①求$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的取值范围;
②设$\overrightarrow{OM}=t\overrightarrow{OB}$(0<t<1),记$\frac{{{S_{△COM}}}}{{{S_{△BMA}}}}$=f(t),求函数f(t)的值域.

分析 (1)直接利用平面向量的数量积把$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AB}$用θ表示;
(2)①利用向量的数量积运算结合向量的加减法运算把$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$用∠BOC表示,化简整理后由∠BOC得范围求得$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的取值范围;
②设$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AC}(0<λ<1)$,则$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{AC}=(1-λ)\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OC}=t\overrightarrow{OB}$,∴$\overrightarrow{OC}=\frac{t}{λ}\overrightarrow{OB}-\frac{1-λ}{λ}\overrightarrow{OA}$,由$\overrightarrow{OC}=1$可得,$|\frac{t}{λ}\overrightarrow{OB}-\frac{1-λ}{λ}\overrightarrow{OA}|=1$,整理得$λ=\frac{{{t^2}-t+1}}{2-t}$,然后把$\frac{{{S_{△COM}}}}{{{S_{△BMA}}}}$转化为含有t的代数式,换元后借助于函数单调性求得函数f(t)的值域.

解答 解:(1)$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{AB}|cos(π-∠OAB)$=$-|\overrightarrow{AB}|cos∠OAB=-2{sin^2}\frac{θ}{2}$;
(2)当θ=60°时,$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}$
①$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC})•(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})$=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}+1$.
设∠BOC=α,由条件知,$α∈[0,\frac{2π}{3}]$,
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=\frac{3}{2}-cos(\frac{π}{3}+α)-cosα=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}cosα+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinα-cosα$
=$\frac{3}{2}-\frac{3}{2}cosα+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinα=\frac{3}{2}-\sqrt{3}(\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosα-\frac{1}{2}sinα)$=$\frac{3}{2}-\sqrt{3}cos(α+\frac{π}{6})$.
∵$α∈[0,\frac{2π}{3}]$,∴$cos(α+\frac{π}{6})∈[-\frac{{\sqrt{3}}}{2},\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$,
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$∈[0,3];
②设$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AC}(0<λ<1)$,则$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{AC}=(1-λ)\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OC}=t\overrightarrow{OB}$,
∴$\overrightarrow{OC}=\frac{t}{λ}\overrightarrow{OB}-\frac{1-λ}{λ}\overrightarrow{OA}$,
由$\overrightarrow{OC}=1$可得,$|\frac{t}{λ}\overrightarrow{OB}-\frac{1-λ}{λ}\overrightarrow{OA}|=1$,
即${(\frac{t}{λ})^2}+{(\frac{1-λ}{λ})^2}-2×\frac{t}{λ}×\frac{1-λ}{λ}×\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=1$,整理得$λ=\frac{{{t^2}-t+1}}{2-t}$,
∴$\frac{CM}{AM}=\frac{1-λ}{λ}=\frac{{1-{t^2}}}{{{t^2}-t+1}}$,
∴$\frac{{{S_{△COM}}}}{{{S_{△COM}}}}=\frac{{\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{CM}}}{{\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{AM}}}=\frac{t}{1-t}×\frac{{1-{t^2}}}{{{t^2}-t+1}}=\frac{{{t^2}+t}}{{{t^2}-t+1}}$.
即$f(t)=\frac{{{t^2}+t}}{{{t^2}-t+1}}(0<t<1)$.
而$f(t)=\frac{{t}^{2}+t}{{t}^{2}-t+1}=1+\frac{2t-1}{{t}^{2}-t+1}$.
令$2t-1=a(-1<a<1),g(a)=1+\frac{a}{{{{(\frac{a+1}{2})}^2}-\frac{a+1}{2}+1}}=1+\frac{4a}{{{a^2}+3}}$,
当a=0时,g(0)=1;
当a≠0时,$g(a)=1\frac{4}{{a+\frac{3}{a}}}$,利用单调性定义可证明函数$y=a+\frac{3}{a}$在(-1,0)和(0,1)都是递减的,
因此,$a+\frac{3}{a}>4$或$a+\frac{3}{a}<-4$,
∴函数$f(t)=\frac{{{t^2}+t}}{{{t^2}-t+1}}(0<t<1)$值域是(0,2).

点评 本题考查平面向量的数量积运算,考查了三角函数值域的求法,训练了利用配方法和函数单调性求函数的值域,考查学生的逻辑思维能力和运算能力,难度较大.

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