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ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,
π
3
<C<
π
2
,且
b
a-b
=
sin2C
sinA-sin2C

(1)判断△ABC的形状
(2)若|
BA
+
BC
|=2
,求
BA
BC
的取值范围、
分析:本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式,倍角公式,解三角形,平面向量的数量积运算,向量的模等知识点.
(1)要判断△ABC的形状,我们可由
b
a-b
=
sin2C
sinA-sin2C
,结论正弦定理边角互化的原则,将式子中边全部化为对应角的正弦值,然后根据两角和与差的正弦公式,倍角公式,得到sinB=sin2C,又由因为
π
3
<C<
π
2
,我们易判断三角形的形状.
(2)由|
BA
+
BC
|=2
,两边平方后,根据(1)的结论,我们可求出B的表达式及取值范围,进而求出
BA
BC
的取值范围.
解答:解:(1)
b
a-b
=
sin2C
sinA-sin2C
?
sinB
sinA-sinB
=
sin2C
sinA-sin2C

?sinBsinA-sinBsin2C=sinAsin2C-sinBsin2C
?sinB=sin2C,
因为
π
3
<C<
π
2

所以B=π-2C?B+C=π-C?π-A=π-C?A=C
即△ABC为等腰三角形.
(2)因为|
BA
+
BC
|=2?(|
BA
+
BC
|)2=4?a2+c2+2accosB=4又A=C?a=c

所以cosB=
2-a2
a2

cosB=-cos2C,
π
3
<C<
π
2

所以
1
2
<cosB<1?1<a2
4
3
BA
BC
=cacosB=a2cosB=2-a2∈(
2
3
,1)
点评:要根据某个恒成立的三角函数关系式,判断三角形的形状,一般的思路是分析角与角的关系,如果有三个角相等,则为等边三角形;如果只能得到两个角相等,则为普通的等腰三角形;如果两个角和为90°,或一个角为90°,则为直角三角形.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,a、b、c分别是角∠A、∠B、∠C所对的边.已知4sinBcos2
B
2
=sin2B+
3

(Ⅰ)求∠B的大小;
(Ⅱ)若a=4,△ABC的面积为5
3
,求b的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2
B
2
=
3
sinB
,b=1.
(1)若A=
12
,求边c的大小;   
(2)求AC边上高的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

锐角三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,b=4,c=5,面积为5
3
,求该三角形外接圆半径(  )
A、
21
B、
7
C、、2
7
D、3
7

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx)
,其中ω>0,函数f(x)=
m
n
,若f(x)相邻两对称轴间的距离为
π
2

(1)求ω的值;
(2)在△ABC中,a、b、c分别是A、B、C所对的边,f(A)=1,△ABC的面积S=5
3
,b=4,求a.

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科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,sinA=
4
5
A∈(
π
2
,π)
a=
41
,S△ABC=4.
(Ⅰ)求cos(A-
π
4
)
的值;
(Ⅱ)求b+c的值.

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